Зависимые и независимые случайные события. Независимость событий

Р(А)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Теорема сложения вероятностей противоположных событий

Противоположными называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать . Противоположное событие состоит в непоявлении событияА.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А)+Р()= 1.

Пример 4. В ящике имеется 11 деталей, из которых 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1 способ . События “среди извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная” и “среди извлеченных деталей нет ни одной бракованной” - противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе через :

Р(А) =1 - Р() .

Найдем Р(). Общее число способов, которыми можно извлечь 3 детали из 11 деталей, равно числу сочетаний
. Число стандартных деталей равно 8; из этого числа деталей можно
способами извлечь 3 стандартных детали. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных 3 деталей нет ни одной нестандартной, равна:

По теореме сложения вероятностей противоположных событий искомая вероятность равна: P(A)=1 - P()=

2 способ. Событие А - "среди извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная" - может реализоваться, как появление:

или события В - "извлечены 1 бракованная и 2 не бракованные детали",

или события С - "извлечены 2 бракованные и 1 не бракованная детали",

или события D - "извлечены 3 бракованные детали".

Тогда A = B + C + D . Так как события B , C и D несовместные, то можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

4. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Произведением двух событий А и В называют событие C =АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, событие АВС состоит в совмещении событий А, В и С .

Два события называют независимыми , если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)  Р(В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А 1 А 2 ... А n ) = Р(А 1 ) · Р(А 2 )...Р(А n ).

Пример 5. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение . Обозначим события: А - появление герба на первой монете, В - появление герба на второй монете, С - появление герба на двух монетах С=АВ .

Вероятность появления герба первой монеты:

Р(А) =.

Вероятность появления герба второй монеты:

Р(В) =.

Так как события А и В независимые, то искомая вероятность по теореме умножения равна:

Р(С)=Р(АВ) = Р(А)  Р(В) = =.

Пример 6. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение . Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А):

Р(А) =

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С ):

Р(С)=

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) paвна:

P(ABC)=P(A)  P(B)  P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Пример 7. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А 1 и А 2 соответственно равны р 1 и р 2. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение . Введем обозначения событий:

В 1 – появилось только событие А 1 ; В 2 – появилось только событие А 2 .

Появление события В 1 равносильно появлению события А 1 2 (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. В 1 = А 1 2 .

Появление события В 2 равносильно появлению события 1 А 2 (не появилось первое событие и появилось второе), т.е. В 1 = 1 А 2 .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А 1 или А 2 , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий В 1 и В 2 . События В 1 и В 2 несовместны, поэтому применима теорема сложения несовместных событий:

Р(В 1 +В 2 ) = Р(В 1 ) + Р(В 2 ) .

Независимые события

При практическом применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие независимости. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида, и т.д. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…

Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0, называют также теоремой умножения вероятностей.

Утверждение 1. Пусть события А и В независимы. Тогда события и независимы, события и В независимы, события А и независимы (здесь - событие, противоположное А , и - событие, противоположное В ).

Действительно, из свойства в) в (3) следует, что для событий С и D , произведение которых пусто, P (C + D ) = P (C ) + P (D ). Поскольку пересечение АВ и В пусто, а объединение есть В , то Р(АВ) + Р(В) = Р(В). Так как А и В независимы, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)). Заметим теперь, что из соотношений (1) и (2) следует, что Р() = 1 – Р(А). Значит, Р(В) = Р()Р(В).

Вывод равенства Р(А) = Р(А)Р() отличается от предыдущего лишь заменой всюду А на В , а В на А .

Для доказательства независимости и воспользуемся тем, что события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий. Следовательно, Р (АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что Р(В)= 1 - Р (АВ) - Р(В)(1 - Р(А)) - Р(А)(1 - Р(В))= (1 – Р(А))(1 – Р(В)) = Р()Р(), что и требовалось доказать.

Пример 3. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.

Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность ½, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» - вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = ½ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.

Зависимость событий понимается в вероятностном смысле, а не в функциональном. Это значит, что по появлению одного из зависимых событий нельзя однозначно судить о появлении другого. Вероятностная зависимость означает, что появление одного из зависимых событий только изменяет вероятность появления другого. Если вероятность при этом не изменяется, то события считаются независимыми.

Определение : Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события. Говорят, что событие А не зависит от события В , если его условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью :

Если , то говорят, что событие А зависит от события В .

Понятие независимости симметрично, то есть, если событие А не зависит от события В ,то и событие В не зависит от события А . Действительно, пусть . Тогда . Поэтому говорят просто, что события А и В независимы.

Из правила умножения вероятностей вытекает следующее симметричное определение независимости событий.

Определение : События А и В, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми , если

Если , то события А и В называются зависимыми .

Отметим, что данное определение справедливо и в случае, когда или .

Свойства независимых событий.

1. Если события А и В являются независимыми, то независимыми являются также следующие пары событий: .

▲ Докажем, например, независимость событий . Представим событие А в виде: . Поскольку события являются несовместными, то , а в силу независимости событий А и В получаем, что . Отсюда , что и означает независимость . ■

2. Если событие А не зависит от событий В 1 и В 2 , которые являются несовместными (), то событие А не зависит и от суммы .

▲ Действительно, используя аксиому аддитивности вероятности и независимость события А от событий В 1 и В 2 , имеем:

Связь между понятиями независимости и несовместности.

Пусть А и В - любые события, имеющие ненулевую вероятность: , так что . Если при этом события А и В являются несовместными (), то и поэтому равенство не может иметь место никогда. Таким образом, несовместные события являются зависимыми .

Когда рассматривают более двух событий одновременно, то попарная их независимость недостаточно характеризует связь между событиями всей группы. В этом случае вводится понятие независимости в совокупности.

Определение : События , определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми в совокупности , если для любого 2 £ m £ n и любой комбинации индексов справедливо равенство:

При m = 2 из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное неверно.

Пример. (Бернштейн С.Н.)

Случайный эксперимент заключается в подбрасывании правильного четырехгранника (тетраэдра). Наблюдается грань, выпавшая книзу. Грани тетраэдра окрашены следующим образом: 1 грань - белая, 2 грань - чёрная,
3 грань - красная, 4 грань - содержит все цвета.

Рассмотрим события:

А = {Выпадение белого цвета}; B = {Выпадение черного цвета};

C = {Выпадение красного цвета}.

Следовательно, события А , В и С являются попарно независимыми.

Однако, .

Поэтому события А , В и С независимыми в совокупности не являются.

На практике, как правило, независимость событий не устанавливают, проверяя ее по определению, а наоборот: считают события независимыми из каких-либо внешних соображений или с учетом обстоятельств случайного эксперимента, и используют независимость для нахождения вероятностей произведения событий.

Теорема (умножения вероятностей для независимых событий).

Если события ,определенные на одном и том же вероятностном пространстве , являются независимыми в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:

▲ Доказательство теоремы следует из определения независимости событий в совокупности или из общей теоремы умножения вероятностей с учетом того, что при этом

Пример 1(типовой пример на нахождение условных вероятностей, понятие независимости, теорему сложения вероятностей).

Электрическая схема состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов соответственно равны .

1) Найти вероятность отказа схемы.

2) Известно, что схема отказала.

Какова вероятность того, что при этом отказал:

а) 1-й элемент; б) 3-й элемент?

Решение. Рассмотрим события = {Отказал k -й элемент}, и событие А = {Отказала схема}. Тогда событие А представляется в виде:

1) Поскольку события и несовместными не являются, то аксиома аддитивности вероятности Р3) неприменима и для нахождения вероятности следует использовать общую теорему сложения вероятностей, в соответствии с которой

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Событие $A$ называется независимым от события $B$, если вероятность события $A$ не зависит от того, произошло событие $B$ или нет. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло событие $B$ или нет.

Вероятность события $A$, вычисленная при условии, что имело место другое событие $B$, называется условной вероятностью события $A$ и обозначается $P(A | B)$ .

Условие независимости события $A$ от события $B$ можно записать в виде:

$$P(A | B)=P(A)$$

а условие зависимости - в виде:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1. Если событие $A$ не зависит от события $B$, то и событие $B$ не зависит от события $A$ .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)$$

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_{n}\right)$$

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P\left(\prod_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие $A$ - появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

$$A=A_{1} A_{2}$$

где событие $A_1$ - появление белого шара при первом вынимании, $A_2$ - появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0,1$$

Ответ. $0,1$

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. После первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. В данном случае события $A_1$ и $A_2$ независимы, а тогда искомая вероятность

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}=0,16$$

Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях).

Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) × Р(В)

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

– в результате броска на 1-й монете выпадет орёл;
– в результате броска на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события А 1 А 2 (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события А 1 и А 2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(А 1 А 2) = Р(А 1) × Р(А 2) = × =
Аналогично:

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.

Заметьте, что события , , , образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: + + + = = 1

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бо льшее количество независимых событий, так, например, если события А, В, С независимы, то вероятность их совместного наступления равна: Р(АВС) = Р(А) × Р(В)×Р(С).

Задача 3

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

S 1 – из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;

S 2 – из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;

S 3 – из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению: Р(S 1) = = 0,8; Р(S 2) = = 0,7; Р(S 3) = = 0,9; – соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением S 1 S 2 S 3 .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(S 1 S 2 S 3) = Р(S 1) × Р(S 2) × Р(S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504 – вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ : вероятность того, что все детали окажутся стандартными, равна 0,504

Задача 4(для самостоятельного решения)

В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ». Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий дан в конце урока.

Зависимые события . Событие Х называют зависимым , если его вероятность Р(Х) зависит от одного или бо льшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно дойти до ближайшего магазина:

Х – завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.

Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным Р(Х) = 1, так и невозможным Р(Х) = 0. Таким образом, событие Х является зависимым .

Другой пример, В – на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие В будет зависимым, поскольку его вероятность Р(В) будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.