ЛЕКЦИЯ №4
КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
K артографическими проекциями называют математические способы изображения на плоскости поверхности земного эллипсоида или шара. Изображение градусной сетки Земли на карте называют картографической сеткой, а точки пересечения меридианов и параллелей - узловыми точками.
Построение карт включает сначала изображение на плоскости (бумаге) картографической сетки, а затем заполнение клеток сетки контурами и другими обозначениями географических объектов. Построение сетки может быть осуществлено различными способами. Так, при применении перспективных проекций картографическая сетка получается как бы проектированием узловых точек с поверхности шара на плоскость (рис.4) или на другую геометрическую поверхность (конус, цилиндр), которая затем развертывается в плоскость без искажений. Пример практического построения перспективным способом картографической сетки северного полушария приведен на рисунке 4.
Картинная плоскость Р касается здесь поверхности северного полушария в точке Северного полюса. Прямолинейными проектирующими лучами из центра К узловые точки пересечения меридиана с экватором и параллелями 30° и 60° широты переносятся на картинную плоскость. Тем самым определяются радиусы этих параллелей на плоскости. Меридианы изображаются на плоскости прямыми линиями, исходящими из точки полюса и отстоящими друг от друга под равными углами. На рисунке изображена половина сетки. Вторую половину легко мысленно представить, а при необходимости и построить.
Построение карты методами перспективных проекций не требует использования высшей математики, поэтому их начали применять еще задолго до ее разработки, с глубокой древности. Ныне в картографическом производстве карты строят неперспективными метода ми - путем расчета положения узловых точек картографической сетки на плоскости. Расчет выполняют, решая систему уравнений, связывающих широту и долготу узловых точек с их прямоугольными координатами X и Y на плоскости. Применяемые при этом уравнения довольно сложны. Примером сравнительно простых формул могут быть следующие:
Х=R´ sin j
Y= R ´ cos j-sinl.
В этих уравнениях R - радиус (средний) Земли, округленно принимаемый за 6370 км, а j, l - географические координаты узловых точек.
Классификация картографических проекций
Применяемые для построения географических карт проекции можно группировать по разным классификационным признакам, из которых основными являются: а) вид «вспомогательной поверхности» и ее ориентировка, б) характер искажений.
Классификация картографических проекций по виду вспомога тельной поверхности и ее ориентировке. Картографические сетки карт получают в современном производстве аналитическим путем. Однако в названиях проекций сохранены по традиции термины «цилиндрические», «конические» и другие, соответствующие способам геометрических построений, к которым в прошлом прибегали для построения сеток) Использование при объяснении этих терминов поможет уяснить особенности полученных на их основе картографических сеток. В настоящее время данный классификационный признак трактуется как вид нормальной картографической сетки
Цилиндрические проекции . При построении цилиндрических проекций представляют, что узловые точки, а значит, и линии градусной сети проектируют с шаровой поверхности глобуса на боковую поверхность цилиндра, ось которого совпадает с осью глобуса, а диаметры обоих тел равны (рис.5). Используя касательный цилиндр в качестве вспомогательной поверхности, учитывают, что узловые точки экватора - А, В, С, D и другие одновременно находятся и на глобусе, и на цилиндре. Другие же узловые точки переносятся с глобуса на поверхность цилиндра. Так, точки Е и F , расположенные на одном меридиане с точкой С, переносятся в точки £" и F \ При этом они на цилиндре расположатся на прямой, перпендикулярной линии экватора. Это и определяет форму меридианов в данной проекции. Параллели на поверхность цилиндра проектируются в форме окружностей, параллельных линии экватора (например, параллель, в которой находятся точки F [ и e").
|
При развертке поверхности цилиндра в плоскость все линии картографической сетки оказываются прямыми, меридианы перпендикулярны параллелям и отстоят друг от друга на равных расстояниях. Таков общий вид картографической сетки, построенной с помощью цилиндра, касательного к глобусу и имеющего с ним общую ось
У таких цилиндрических проекций линией нулевых искажений служит экватор, а изоколы имеют форму прямых, параллельных экватору; главные направления совпадают с линиями картографической сетки, при этом с удалением от экватора искажения увеличиваются.
В этих проекциях применяют также проектирование на цилиндры с диаметром меньшим, чем диаметр глобуса, и по-разному относительно глобуса расположенные. В зависимости от ориентировки цилиндра полученные картографические сетки (как и сами проекции) называют нормальными, косыми или поперечными. Нормальные цилиндрические сетки строят на цилиндрах, оси которых совпадают с осью глобуса; косые - на цилиндрах, ось которых составляет с осью глобуса острый угол; поперечные сетки образуются с помощью цилиндра, ось которого составляет прямой угол с осью глобуса.
Нормальная цилиндрическая картографическая сетка на касательном цилиндре имеет линию нулевых искажений на экваторе. Нормальная сетка на секущем цилиндре имеет две линии нулевых искажений, расположенных вдоль параллелей сечения цилиндра с глобусом (с широтами j1 и j2). При этом, вследствие сжатия участка сетки между линиями нулевых искажений, масштабы длин по параллелям оказываются здесь меньше главного; во внешнюю же сторону от линий нулевых искажений они больше главного масштаба - как результат растяжения параллелей при проектировании с глобуса на цилиндр.
Косая цилиндрическая сетка на секущем цилиндре имеет в северной части линию нулевых искажений в форме прямой, перпендикулярной к среднему меридиану карты и касательной к параллели с широтой j; внешний вид сетки представлен кривыми линиями меридианов и параллелей.
Примером поперечной цилиндрической проекции может служить проекция Гаусса-Крюгера, в которой каждый поперечно расположенный цилиндр используется для проектирования поверхности одной зоны Гаусса.
Конические проекции. Для построения картографических сеток в конических проекциях используют нормальные конусы - касательный или секущий.
рис.6
рис.7
У всех нормальных конических проекций специфичен внешний вид картографической сетки: меридианы - прямые, сходящиеся в точке, изображающей на плоскости вершину конуса, параллели - дуги концентрических окружностей с центром в точке схода меридианов. У сеток, построенных на касательных конусах, одна линия нулевых искажений, с удалением от которой искажения увеличиваются (рис.6). Изоколы у них имеют форму дуг окружностей, совпадающих с параллелями. Сетки, построенные на секущем конусе (рис. 6 Б), имеют тот же облик, но иное распределение искажений: линий нулевых искажений у них две. Между ними частные масштабы вдоль параллелей меньше главного, а на внешних участках сетки - больше главного масштаба. Главные направления у всех нормальных конических сеток совпадают с меридианами и параллелями.
Азимутальные проекции. Азимутальными называют картографические сетки, которые получают проектированием градусной сетки глобуса на касательную плоскость (рис.). Нормальную ази мутальную сетку получают в результате переноса на плоскость, касательную к глобусу в точке полюса (рис. 7 А), попереч ную - при касании плоскости в точке экватора (рис. 7, Б) и ко сую - при переносе на иначе ориентированную плоскость (рис.7 , В). Внешний вид сеток хорошо виден на рисунке 7.
Все азимутальные сетки имеют в отношении искажений следующие общие свойства: точкой нулевых искажений (ТНИ) служит точка касания глобуса с плоскостью (обычно она располагается в центре карты); величины искажений с удалением во все стороны от ТНИ возрастают, поэтому изоколы у азимутальных проекций имеют форму концентрических окружностей с центром в ТНИ. Главные направления следуют по радиусу и перпендикулярным им линиям. Название этой группы проекций связано с тем, что на картографической сетке, построенной в азимутальной проекции, в бывшей точке касания глобуса и плоскости (т. е. в точке нулевых искажений) азимуты всех направлений не искажаются
Поликонические проекции. Построение сетки в поликонической проекции можно представить путем проектирования участков градусной сетки глобуса на поверхность нескольких касательных конусов и последующей развертки в плоскость образовавшихся на поверхности конусов полос. Общий принцип такого проектирования показан на рисунке 8. Буквами на рисунке 8, А обозначены вершины конусов.,На каждый проектируют широтный участок поверхности глобуса, примыкающий к параллели касания соответствующего конуса. После развертки конусов получают изображение этих участков в виде полос на плоскости; полосы соприкасаются по среднему меридиану карты. Окончательный вид сетка получает после ликвидации разрывов между полосами путем растяжений.
рис.8
Для внешнего облика картографических сеток в поликонической проекции характерно, что меридианы имеют форму кривых линий (кроме среднего - прямого), а параллели - дуги эксцентрических окружностей. В поликонических проекциях, используемых для построения мировых карт, приэкваториальный участок проектируют на касательный цилиндр, поэтому на полученной сетке экватор имеет форму прямой линии, перпендикулярной среднему меридиану.
Картографические сетки в поликонических проекциях имеют в приэкваториальных участках масштабы длин, близкие к главным. Вдоль меридианов и параллелей они увеличены сравнительно с главным масштабом, что особенно заметно в периферийных частях. Соответственно в этих частях значительно искажены и площади
Условные проекции . К условным относят такие проекции, в которых вид получаемых картографических сеток невозможно представить на основе проектирования на какую-нибудь вспомогательную поверхность. Получают их часто аналитическим путем (на основе решения систем уравнений). Это очень большая группа проекций. Из них выделяют по особенностям внешнего вида картографической сетки псевдоцилиндрические проекции (рис.9). Как видно из рисунка, у псевдоцилиндрических проекций экватор и параллели - прямые, параллельные друг другу (что роднит их с цилиндрическими проекциями), а меридианы у них - кривые линии.
Рис.9
|
|
.
Вид эллипсов искажений в проекциях равновеликих - А, равноугольных - Б, произвольных - В, в том числе, равнопромежуточных по меридиану - Г и равнопромежуточных по параллели - Д. На схемах показано искажение угла 45°
Картографические проекции различают по характеру искажений и по построению. По характеру искажений выделяют проекции:
1) Равноугольные, сохраняющие величину углов, здесь а= b . Эллипсы искажений имеют вид окружностей разной площади.
2) Равновеликие, сохраняющие площади объектов. В них р =mn cos e =l; следовательно, увеличение масштаба длин по параллелям вызывает уменьшение масштаба длин по меридианам и искажение углов и форм.
3) Произвольные, искажающие углы и площади. Среди них выделяется группа равнопромежуточных проекций, в которых сохраняется главный масштаб по одному из главных направлений.
Большое практическое значение имеет подразделение проекций по территориальному охвату на проекции для карт мира, полушарий, материков и океанов, государств и их частей.
Ниже приведены таблицы внешних признаков широко распространенных проекций для разных территорий, составленные.
Таблица 1
Таблица для определения картографических сеток карт восточного и западного полушарий
Как изменяются промежутки по: Среднему меридиану и экватору Меридиану и экватору от центра к краям полушария | Какими линиями изображаются параллели | Название проекций |
Уменьшаются от 1 приблизительно до 0,7 | Кривыми, увеличивающими кривизну с удалением от среднего меридиана к крайним | Равновеликая экваториальная азимутальная Ламберта |
Уменьшаются от 1 приблизительно до 0,8 | Экваториальная азимутальная Гинзбурга |
|
Увеличиваются от 1 приблизительно до 2 | Дугами окружностей | Экваториальная стереографическая |
Сильно уменьшаются | Экваториальная ортографическая |
Таблица 2
Таблица для определения проекций картографических сеток мировых карт
Форма рамки, карты или вид всей сетки | Какими линиями изображаются параллели и меридианы | Как изменяются, промежутки по среднему меридиану с удалением от экватора | Название проекции |
Рамка-прямоугольник | Параллели-прямые, меридианы-кривые | Увеличиваются между параллелями 70 и 80° почти в 1,5 раза больше чем между экватором и параллелью 10° | Псевдоцилин-дрическая проекция ЦНИИГАиК |
Сетка и рамка- прямоугольник | Параллели и меридианы-прямые | Сильно увеличиваются: между параллелями 60 и 80° приблизительно в 3 раза больше, чем между экватором и параллелью 20° | Цилиндрическая Меркатора |
Сетка и рамка- прямоугольник | Параллели меридианы-прямые | Увеличиваются: параллелями приблизительно в 2 2/з раза больше, чем между экватором и параллелью 20° | Цилиндрическая Урмаева |
Определение картографических проекций географических карт определяют при помощи таблиц и вычислений. Прежде всего выясняют, какая территория изображена на анализируемой карте и какой таблицей следует воспользоваться при определении проекции. Затем определяют вид параллелей и меридианов и характер промежутков между параллелями по прямому меридиану. Определяют также характер меридианов: не являются ли они прямыми или же прямой только средний меридиан а остальные - кривые, симметричные относительно среднего. Прямолинейность меридианов проверяется при помощи линейки. Если меридианы оказались прямыми, уточняют, параллельны ли они между собой. При рассмотрении параллелей выясняют, являются ли параллели дугами окружностей, кривыми или прямыми линиями. Это устанавливается путем сравнения стрелок провеса для дуг равных хорд: при равных стрелках провеса линии - дуги окружностей, при неравных стрелках провеса параллели - сложные кривые. Для выяснения характера кривизны линии можно поступить также следующим образом. На листе кальки отмечают три точки этой кривой. Если при передвижении листка вдоль линии все три точки совпадут с кривой, то данная кривая будет дугой окружности. Если параллели окажутся дугами, следует проверить их концентричность, для чего измеряют расстояния между соседними параллелями в середине карты и на краю. При постоянстве этих расстояний дуги концентричны.
Как прямые конические, так и азимутальные полярные проекции имеют прямолинейные, расходящиеся из одной точки меридианы. Участок сетки прямой конической проекции можно отличить от участка сетки полярной азимутальной проекции путем измерения угла между двумя меридианами, отстоящими друг от друга на 60-90°. Если этот угол оказался меньше соответствующей разности долгот, подписанных на карте, то это - коническая проекция, если равен разности долгот - азимутальная.
Определение средних размеров искажений для географических объектов может быть выполнено двумя путями:
1) посредством измерения отрезков меридианов и параллелей по карте и последующих вычислений по формулам;
2) по картам с изоколами.
В первом случае сначала вычисляют частные масштабы по меридианам (т) и параллелям \{п) и выражают их в долях главного масштаба:
где -l 1 длина дуги меридиана на карте, L 1 -длина дуги меридиана на эллипсоиде, l 2 - длина дуги параллели на карте, L 2 - длина дуги параллели на эллипсоиде { L 1 и L 2 берут из таблиц приложения; М - знаменатель главного масштаба.
Затем измеряют на карте транспортиром угол e между касательными к параллели и меридиану в заданной точке; определяют отклонение угла q от 90°; e =q -90°.
На основе известных формул, вычисляют величины искажений р, a , b , w , к.
Во втором случае – используют карты изокол. С этих карт берут значения для 2-3 точек объектов с точностью, допускаемой визуальным интерполированием, затем можно установить, к какой группе по характеру искажений относится данная проекция.
Картографи-ческие проекции — это математические способы изображения на плоскости поверхности земного шара (эллипсоида).
Точнее всего форму Зем-ли передает глобус , потому что он такой же шарообраз-ный, как наша планета . Но глобусы занимают много места, их трудно брать в дорогу, нель-зя вложить в книгу. Они имеют очень мелкий масштаб , на них нельзя подробно показать небольшой участок земной поверхнос-ти.
Картографических проек-ций существует множество. Самые распространённые — азимутальная , цилиндрическая , коническая . В зависимости от вида картографической проекции наибольшие искажения могут быть в одном или другом месте карты, а градусная сеть может выглядеть по-разному.
Какую проекцию выбрать, зави-сит от назначения карты, от размера изображаемой терри-тории и широты, на которой она расположена. Например, для вытянутых в средних ши-ротах стран, таких, как Рос-сия, удобно использовать коническую проекцию, для полярных областей азимутальную, а для карт мира, отдельных материков, океанов часто применяют цилиндрическую проекцию.
Картографические проекции
отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. Земной эллипсоид) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты. Масштаб.
К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М
раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель - Глобус , изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М
(в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. Развёртывающаяся поверхность)), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds
на земном эллипсоиде к его изображению dσ
на плоскости: μ min ≤ μ ≤ μ max , и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М
называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность М = 1. Общие сведения.
Теория К. п. - Математическая картография -
имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в которых искажения имели бы или наименьшие (в каком-либо смысле) значения или заранее заданное распределение. Исходя из нужд картографии (См. Картография), в теории К. п. рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. Т. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (М
> 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R
, отклонениями которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу
сферы, отнесённой к географическим координатам φ (широта) и λ (долгота). Уравнения любой К. п. имеют вид x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ)
, (1) где f
1 и f
2 - функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Изображения меридианов λ = const
и параллелей φ = const
в данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в которых фигурируют не прямоугольные координаты х
, у
плоскости, а какие-либо иные. Некоторые К. п. [например, Перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2
) перспективно-цилиндрические (рис. 7
) и др.] можно определить геометрическими построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, из которых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию. Краткие исторические сведения.
Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается Гномоническая проекция , примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт (Гиппарх ,
Птолемей и др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатор ом,
используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда широкая организация топографических съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значительной территории, К. п. разрабатывались как основа для топографических карт (французский картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассини),
а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт , Л. Эйлер , Ж. Лагранж
и др.). Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусс а к разработке фундаментальной геодезической проекции (См. Геодезические проекции). Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. п. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт ,
П. Л. Чебышев , Д. А. Граве и др.). В трудах советских картографов В. В. Каврайского (См. Каврайский), Н. А. Урмаев а и др. разработаны новые группы К. и., отдельные их варианты (до стадии практического использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др. Теория искажений.
Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это - так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: μ max = а
и μ min = b
. Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные. Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений. Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат.
Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера в этих точках не имеет каких-либо особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно иногда применять не географические координаты, а другие, в которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота на них а = const
) и альмукантараты (где полярные расстояния z = const
), аналогичны географическим меридианам и параллелям, но их полюс Z 0
не совпадает с географическим полюсом P 0
(рис. 1
). Переход от географических координат φ
, λ
любой точки сферы к её сферическим координатам z
, a
при заданном положении полюса Z 0 (φ 0 , λ 0)
осуществляется по формулам сферической тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), называется нормальной, или прямой (φ 0 = π/2
). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в которых вместо φ
, λ
фигурируют z
, a
, то эта проекция называется поперечной при φ 0 = 0
, λ 0
и косой, если 0 . Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2
показана нормальная (а), поперечная (б) и косая (в) ортографические проекции (См. Ортографическая проекция) сферы (поверхности шара).
Классификация картографических проекций по характеру искажений.
В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, Стереографическая проекция .
В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой. Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми. При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3
); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в
см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р
); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а
, 3б
и др. Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей,
являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически. Цилиндрические проекции (рис. 3
) - проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.
Азимутальные проекции (рис. 5
) - проекции, в которых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции. Псевдоконические проекции (рис. 6
) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России. Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8
) - проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми. Поликонические проекции (рис. 9
) - проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты. Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др. Использование и выбор картографических проекций
зависят главным образом от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих. При этом возможно некоторое нарушение определяющих условий этих проекций (ω ≡ 0
или р ≡ 1
), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из которых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в которых искажения в каком-либо смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена. К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел. Преобразование проекций.
Рассматривая две К. п., заданные соответствующими системами уравнений: x = f 1 (φ, λ)
, y = f 2 (φ, λ)
и X = g 1 (φ, λ)
, Y = g 2 (φ, λ)
, можно, исключая из этих уравнении φ и λ, установить переход от одной из них к другой: Х = F 1 (x, у)
, Y = F 2 (x, у)
. Эти формулы при конкретизации вида функций F
1 , F
2 , во-первых, дают общий метод получения так называемых производных проекций; во-вторых, составляют теоретическую основу всевозможных способов технических приёмов составления карт (см. Географические карты). Например, аффинные и дробно-линейные преобразования осуществляются при помощи картографических трансформаторов (См. Картографический трансформатор).
Однако более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п. - актуальная проблема современной картографии. Лит.:
Витковский В., Картография. (Теория картографических проекций), СПБ. 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, М. - Л., 1934; его же, Избр. труды, т. 2, в. 1-3, [М.], 1958-60; Урмаев Н. А., Математическая картография, М., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, М., 1947; Граур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968. Г. А. Мещеряков.
2. Шар и его ортографические проекции. 3а. Цилиндрические проекции. Равноугольная Меркатора. 3б. Цилиндрические проекции. Равнопромежуточная (прямоугольная). 3в. Цилиндрические проекции. Равновеликая (изоцилиндрическая). 4а. Конические проекции. Равноугольная. 4б. Конические проекции. Равнопромежуточная. 4в. Конические проекции. Равновеликая. Рис. 5а. Азимутальные проекции. Равноугольная (стереографическая) слева - поперечная, справа - косая. Рис. 5б. Азимутальные проекции. Равнопромежуточная (слева - поперечная, справа - косая). Рис. 5в. Азимутальные проекции. Равновеликая (слева - поперечная, справа - косая). Рис. 8а. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая проекция Мольвейде. Рис. 8б. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая синусоидальная проекция В. В. Каврайского. Рис. 8в. Псевдоцилиндрические проекции. Произвольная проекция ЦНИИГАиК. Рис. 8г. Псевдоцилиндрические проекции. Проекция БСАМ. Рис. 9а. Поликонические проекции. Простая. Рис. 9б. Поликонические проекции. Произвольная проекция Г. А. Гинзбурга.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Картографические проекции" в других словарях:
Математические способы изображения на плоскости поверхности земного эллипсоида или шара. Картографические проекции определяют зависимость между координатами точек на поверхности земного эллипсоида и на плоскости. Из за невозможности развернуть… … Большой Энциклопедический словарь
КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, системные методы нанесения меридианов и параллелей Земли на плоскую поверхность. Только на глобусе можно достоверно представить территории и формы. На плоских картах больших территорий искажения неизбежны. Проекции это… … Научно-технический энциклопедический словарь
Картографическая проекция
Картографи́ческая прое́кция - математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Суть проекций связана с тем, что фигуру Земли - эллипсоид, не развертываемый в плоскость, заменяют на другую фигуру, развёртываемую на плоскость. При этом с эллипсоида на другую фигуру переносят сетку параллелей и меридианов. Вид этой сетки бывает разный в зависимости от того, какой фигурой заменяется эллипсоид.
Искажения
В любой проекции существуют искажения , они бывают четырёх видов:
- искажения длин
- искажения углов
- искажения площадей
- искажения форм
На различных картах искажения могут быть различных размеров: на крупномасштабных они практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики.
Искажения длин
Искажение длин - базовое искажение. Остальные искажения из него логически вытекают. Искажение длин означает непостоянство масштаба плоского изображения, что проявляется в изменении масштаба от точки к точке, и даже в одной и той же точке в зависимости от направления.
Это означает, что на карте присутствует 2 вида масштаба:
- Главный, он на карте подписывается, но на самом деле это масштаб исходного эллипсоида, развертыванием которого в плоскость карта и получена.
- Частный масштаб - их бесконечно много на карте, он меняется от точки к точке и даже в пределах одной точки.
Для наглядного изображения частных масштабов вводят Эллипс искажения .
Искажения площадей
Искажения площадей логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажения площадей принимают отклонение площади эллипса искажений от исходной площади на эллипсоиде .
Искажения углов
Искажения углов логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажений углов на карте принимают разность углов между направлениями на карте и соответствующими направлениями на поверхности эллипсоида.
Искажения формы
Искажения формы - графическое изображение вытянутости эллипсоида.
Классификация проекций по характеру искажений
Равноугольные проекции
В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают. При этом конус берется или касательный, или секущий.
После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость. При проектировании по методу линейной перспективы получаются перспективные конические проекции, обладающие только промежуточными свойствами по характеру искажений.
В зависимости от размеров изображаемой территории в конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохраняются длины без искажений. Одна параллель (касательная) принимается при небольшом протяжении по широте; две параллели (секущие) - при большом протяжении для уменьшения уклонений масштабов от единицы. В литературе их называют стандартными параллелями.
Азимутальные проекции
В азимутальных проекциях параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы - пучком прямых, исходящих из центра
Углы между меридианами проекции равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным или другим) или способом проектирования точек земной поверхности на картинную плоскость. Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их можно рассматривать как частный случай конических проекций.
Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.
В зависимости от искажений, азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. В проекции масштаб длин может сохраняться в точке или вдоль одной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предполагается касательная картинная плоскость, во втором - секущая. В прямых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных - только для поверхности шара.
Азимутальную равновеликую проекцию называют также стереографической. Она получается проведением лучей из некоторой фиксированной точки поверхности Земли на плоскость, касательную к поверхности Земли в противолежащей точке.
Особый вид азимутальной проекции - гномоническая . Она получается проведением лучей из центра Земли к некоторой касательной к поверхности Земли плоскости. Гномоническая проекция не сохраняет ни площадей, ни углов, но зато на ней кратчайший путь между любыми двумя точками (то есть дуга большого круга) всегда изображается прямой линией; соответственно меридианы и экватор на ней изображаются прямыми линиями.
Псевдоконические проекции
В псевдоконических проекциях параллели изображаются дугами концентрических окружностей, один из меридианов, называемый средним - прямой линией, а остальные - кривыми, симметричными относительно среднего.
Примером псевдоконической проекции может служит равновеликая псевдоконическая проекция Бонна.
Псевдоцилиндрические проекции
В псевдоцилиндрических проекциях все параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной параллелям, а остальные меридианы - кривыми. Причём средний меридиан является осью симметрии проекции.
Поликонические проекции
В поликонических проекциях экватор изображается прямой, а остальные параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей. Меридианы изображаются кривыми, симметричными относительно центрального прямого меридиана, перпендикулярного экватору.
Кроме вышеперечисленных встречаются и другие проекции, не относящиеся к указанным видам.
См. также
Ссылки
- // БСЭ
Проекция Математически определенный способ отображения поверхности шара или эллипсоида на плоскость, используемый для создания картографического произведения. [ГОСТ 21667 76] Тематики картография Обобщающие термины математическая картография… …
картографическая проекция - Математический способ изображения, а также собственно изображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости географической карты … Словарь по географии
Отображение всей поверхности земного эллипсоида или какой либо ее части на плоскость, получаемое в основном с целью построения карты. К. п. чертят в определенном масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в Мраз, получают его геометрич. модель… … Математическая энциклопедия
Математически определённое отображение поверхности земного шара, эллипсоида (или глобуса) на плоскость карты. Проекция устанавливает соответствие между географическими координатами точки (широтой В и долготой L) и её прямоугольными координатами… … Географическая энциклопедия
псевдоазимутальная картографическая проекция - картографическая проекция Картографическая проекция, в которой параллели нормальной сетки концентрические окружности или их дуги, а меридианы кривые, исходящие из центра параллелей, симметричные относительно одного или двух прямолинейных… … Справочник технического переводчика
равновеликая картографическая проекция - равновеликая проекция Н.д.п. авталическая проекция гомолографическая проекция равноплощадная проекция эквивалентная проекция Картографическая проекция, в которой отсутствуют искажения площадей. [ГОСТ 21667 76] Недопустимые, нерекомендуемые… … Справочник технического переводчика
равноугольная картографическая проекция - равноугольная проекция Ндп. конформная проекция ортоморфная проекция изогональная проекция автогональная проекция Картографическая проекция, в которой отсутствуют искажения углов. [ГОСТ 21667 76] Недопустимые, нерекомендуемые автогональная… … Справочник технического переводчика
азимутальная картографическая проекция - азимутальная проекция Ндп. зенитальная проекция Картографическая проекция, в которой параллели нормальной сетки концентрические окружности, а меридианы их радиусы, углы между которыми равны соответствующим разностям долгот. [ГОСТ 21667 76]… … Справочник технического переводчика
равнопромежуточная картографическая проекция - равнопромежуточная проекция Ндп. эквидистантная проекция Произвольная картографическая проекция, в которой масштаб по одному из главных направлений постоянная величина. [ГОСТ 21667 76] Недопустимые, нерекомендуемые эквидистантная проекция… … Справочник технического переводчика
коническая картографическая проекция - коническая проекция Картографическая проекция, в которой параллели нормальной сетки дуги концентрических окружностей, а меридианы их радиусы, углы между которыми пропорциональны соответствующим разностям долгот. [ГОСТ 21667 76] Тематики… … Справочник технического переводчика
Для выбора наивыгоднейшего пути при переходе судна из одного пункта в другой судоводитель пользуется картой.Картой называют уменьшенное обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному масштабу и способу.
Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов - разрывы.
Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности - картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.
Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией , а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей - картографической сеткой.
Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.
По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.
Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т. е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Если остров круглой формы в природе, то и на кар- те в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.
Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т. е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Остров круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.
Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач. Наибольшее применение в судовождении из карт произвольных проекций получили ортодромические, на которых ортодромии (большие круги шара) изображаются прямыми линиями, а это очень важно при использовании некоторых радионавигационных систем при плавании по дуге большого круга.
Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.
По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.
Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.
Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S (рис, 33). В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели - дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.
В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Конические проекции применяются для географических карт.
Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли (рис.34), и последующей развертки по образующей на плоскость.
В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л,
В, С, D, F, G и параллелей аа",bb",сс
При этом без больших искажений будут
изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К
и ее проекцию К на рис. 34), но участки
полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.
Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса). Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки. На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.
Рис. 34
Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q (рис. 35) - касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции P N под угла- ми, равными соответствующим углам в натуре, а параллели - концентрическими окружностями с центром в полюсе. Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.
Азимутальная проекция зависит от того, какими радиусами проводятся параллели. Подчиняя радиусы той или иной зависимости от широты, получают различные азимутальные проекции, удовлетворяющие условиям либо равноугольности, либо равновеликости.
Рис. 35
Перспективные проекции. Если картографическую сетку получают проектированием меридианов и параллелей на плоскость по законам линейной перспективы из постоянной точки зрения Т.З. (см. рис. 35), то такие проекции называют перспективными. Плоскость можно располагать на любом расстоянии от Земли или так, чтобы она касалась ее. Точка зрения должна находиться на так называемом основном диаметре земного шара или на его продолжении, причем картинная плоскость должна быть перпендикулярна основному диаметру.
Когда основной диаметр проходит через полюс Земли, проекция называется прямой или полярной (см. рис. 35); при совпадении основного диаметра с плоскостью экватора проекция называется поперечной или экваториальной, а при других положениях основного диаметра проекции называются косыми или горизонтальными.
Кроме того, перспективные проекции зависят от расположения точки зрения от центра Земли на основном диаметре. Когда точка зрения совпадает с центром Земли, проекции называются центральными или гномоническими; когда точка зрения находится на поверхности Землистереографическими; при удалении точки зрения на какое-либо известное расстояние от Земли проекции называются внешними, и при удалении точки зрения в бесконечность -ортографическими.
На полярных перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются аналогично полярной азимутальной проекции, но расстояния, между параллелями получаются разными и обусловлены положением точки зрения на линии основного диаметра.
На поперечных и косых перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются в виде эллипсов, гипербол, окружностей, парабол или прямых линий.
Из особенностей, свойственных перспективным проекциям, следует отметить, что на стереографической проекции любой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде окружности; на центральной проекции всякий большой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде прямой линии, в связи с чем в некоторых частных случаях эту проекцию представляется целесообразным применять в навигации.
Условные проекции. К этой категории относятся все проекции, которые по способу построения нельзя отнести ни к одному из перечисленных выше видов проекций. Они обычно удовлетворяют каким-нибудь заранее поставленным условиям, в зависимости от тех целей, для которых требуется карта. Число условных проекций не ограничено.
Небольшие участки земной поверхности до 85 км можно изобразить на плоскости с сохранением на них подобия нанесенных фигур и площадей. Такие плоские изображения небольших участков земной поверхности, на которых искажениями практически можно пренебрегать, называются планами.
Планы обычно составляют без всяких проекций путем непосредственной съемки и на них наносят все подробности снимаемого участка.
Из рассмотренных выше проекций в судовождении в основном применяются: равноугольная, цилиндрическая, азимутальная перспективная, гномоническая и азимутальная перспективная стереографическая.
Масштабы
Масштабом карты называется отношение бесконечно малого элемента линии в данной точке и по данному направлению на карте к соответствующему бесконечно малому элементу линии на местности.Этот масштаб называется частным масштабом, и каждая точка карты имеет свой, присущий только ей, частный масштаб. На картах, кроме частного, различают еще главный масштаб, являющийся исходной величиной для расчетов размеров карты.
Главным называется масштаб, величина которого сохраняется лишь по определенным линиям и направлениям, в зависимости от характера построения карты. На всех остальных частях одной и той же карты величина масштаба больше или меньше главного, т. е. этим частям карты будут соответствовать свои частные масштабы.
Отношение частного масштаба карты в данной точке по данному направлению к главному называется увеличением масштаба , а разность между увеличением масштаба и единицей - относительным искажением длины. На равноугольной цилиндрической проекции масштаб изменяется при переходе с одной параллели на другую. Параллель, по которой соблюден главный масштаб, называется главной параллелью. По мере удаления от главной параллели в сторону полюса величины частных масштабов на одной и той же карте увеличиваются и, наоборот, по мере удаления от главной параллели в сторону экватора величины частных масштабов уменьшаются.
Если масштаб выражается в виде простой дроби (или отношения), делимое которой - единица, а делитель - число, указывающее, скольким единицам длины на горизонтальной проекции данного участка земной поверхности соответствует одна единица длины на карте, то такой масштаб называется численным или числовым. Например, числовой масштаб 1/100000 (1:100000) означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности.
Для определения длины измеряемых линий пользуются линейным масштабом, показывающим, сколько единиц длины высшего наименования на местности содержится в одной единице длины низшего наименования на карте (плане).
Например, масштаб карты «5 миль в I см» или 10 км в 1 см» и т. п. Это значит, что расстояние в 5 миль (или 10 км) на местности соответствует 1 см на карте (плане).
Линейный масштаб на плане или карте помещают под рамкой в виде прямой, разделенной на несколько делений; начальную точку линейного масштаба обозначают цифрой 0, а затем против каждого или некоторых последующих его делений ставят цифры, показывающие соответствующие этим делениям расстояния на местности.
Переход от числового масштаба к линейному осуществляется простым пересчетом мер длины.
Например, чтобы перейти от числового масштаба 1/100000 к линейному, нужно 100 000 см перевести в километры или мили. 100 000 см = 1 км, или, приближенно, 0,54 мили, следовательно, данная карта составлена в масштабе 1 км в 1 см, или 0,54 мили в 1 см.
Если известен линейный масштаб, например 2 мили в 1 см, то для перехода к числовому необходимо 2 мили перевести в сантиметры и сделать запись в виде дроби с числителем единица: 2 1852 100 - = 370 400 см, следовательно, числовой масштаб данной карты 1/370400
